數學變換矩陣
希爾伯特矩陣是一種數學變換矩陣，正定且高度病態，其病態程度與矩陣的階數相關。
希爾伯特矩陣的每個元素都是單位分數，即分子為1，分母為正整數的分數。這個矩陣是對稱的，意味著任意兩個對應元素關於主對角線對稱。希爾伯特矩陣在各個位置上的元素由公式Hij=1i+j−1定義，其中i和j是矩陣的行和列索引。例如，一個5階的希爾伯特矩陣看起來像一個方陣，其對角線以上的元素分子為1，分母是行索引加上列索引減1。
希爾伯特矩陣是一種特殊的漢克爾矩陣。線上性代數中，希爾伯特矩陣常用作係數矩陣，尤其是在數值分析和矩陣理論的研究中。由於其高度病態的性質，希爾伯特矩陣對輸入數據的微小變化非常敏感，這在實際套用中可能導致數值不穩定。