旋轉四元數是一種用於表示三維空間中旋轉的數學工具。它由一個實數和三個虛數單位（i、j、k）組成，基本形式為 \( q = (w, x, y, z) \)，其中 \( w \) 是實數部分，而 \( x, y, z \) 是虛數部分。旋轉四元數可以用於描述三維空間中的點或者旋轉。單位四元數，即 \( w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)，表示三維空間的旋轉，與三維正交矩陣和歐拉角是等價的。
旋轉四元數的一個特點是可以表示不同的旋轉軸和旋轉角度。例如，繞三個基本軸（x、y、z）旋轉，其四元數表示分別為：
繞x軸旋轉：\( Q = \cos(\phi) + \sin(\phi) \cdot (i, j, k) \)
繞y軸旋轉：\( Q = \cos(\theta) + \sin(\theta) \cdot (i, j, k) \)
繞z軸旋轉：\( Q = \cos(\psi) + \sin(\psi) \cdot (i, j, k) \)
這些旋轉軸和旋轉角度的組合可以表示不同的複合旋轉。
旋轉四元數的運算相對複雜，但它提供了一種直觀且不失真的方式來描述三維空間中的旋轉，這使得它在計算機圖形學、機器人學等領域中得到了廣泛的套用。