黎曼積分（Riemann Integral）是數學中一種非常重要的積分概念，它是對原始積分定義的一種推廣，適用於更多類型的函數。
黎曼積分主要應用於有限區間[a，b]上的有界函數f(x)。其基本思想是將區間劃分爲若干個子區間，並在每個子區間上取一點，計算該點上的函數值與子區間長度的乘積，然後將這些乘積求和。如果這個和值在區間劃分越來越細的情況下趨於一箇極限值，那麼函數在該區間上就是可積的，這個極限值就是其黎曼積分。
黎曼積分的定義基於以下幾個關鍵點：
被積函數的條件：黎曼積分要求被積函數基本上符合連續的條件。例如，分段函數D(x)=0(x是無理數)或1(x是有理數)就不能進行黎曼積分。
黎曼和的概念：黎曼和是通過在閉區間上進行分隔，並在每個取樣區間中取一點來定義的。當這些點的函數值與區間長度的乘積之和趨近於某個常數時，就表示函數在該區間上是可積的。
歷史背景：黎曼積分是由德國數學家伯恩哈德·黎曼在1854年提出的。這一概念在數學分析中佔有核心地位，爲後續的積分理論奠定了基礎。
總的來說，黎曼積分是現代積分學的基礎，它不僅在理論上有着廣泛的應用，也在實際問題的求解中發揮着重要作用。