公理和定理是數學和其他科學領域中的基本概念，它們之間有明顯的區別：
定義：
公理：是人們通過長期實踐總結出來的基本數學知識，它們作為判定其他命題真假的依據。公理是基於人類理性的不證自明的基本事實，不需要進一步的證明，因為它們在邏輯上沒有矛盾。
定理：是通過推理方法得到的真命題。這些命題的正確性需要經過嚴格的邏輯推理和證明過程來確認。
能否被證明：
公理：不能被證明，因為它們是廣泛接受的基本真理，不需要通過其他命題來驗證。
定理：需要被證明。它們是從公理或其他已被證明的定理出發，通過邏輯推理得出的新真命題。
形成方式：
公理：是通過人們的反覆使用和公認而形成的，不需要被推理證明。
定理：是通過推理方法得到的真命題，這種推理的過程稱為「證明」。
適用領域：
公理：廣泛存在於各種學科領域中，包括數學、物理、化學以及人文社科領域如經濟、法學等。
定理：主要適用於理科性質的領域，如數學、物理等，這些領域需要通過嚴密的推理論證來確定命題的正確性。
示例：
公理：例如，直線公理、平行公理等，這些都是幾何學中的基本公理，它們是幾何學的基礎。
定理：如「勾股定理」，其正確性需要通過邏輯推理和證明來確認。
綜上所述，公理和定理在數學和其他科學領域中扮演著不同的角色。公理是作為知識體系的基礎，而定理則是從這些基礎出發，通過邏輯推理得出的更複雜的真命題。