凸分析是 現代 數 學中的 一個重要分支，主要 套用 於 最佳化、凸 最佳化、最 最佳化等 領域。
凸分析中的基本概念 包括凸集和凸 函式。凸集是指在向量空 間中，任意 兩個集合 內的 點的 線性 組合仍然 位於 該集合 內的集合，例如，如果C是凸集，那 麼 對於所有x, y 屬於C以及所有0≤λ≤1，都有λx+(1-λ)y 屬於C。凸 函式 則是指在 實 數域上定 義的 函式f(x)， 對於其定 義域 內的任意 兩 點x1和x2以及介 於0到1之 間的任意 實 數λ，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即 函式值的 線性 組合不超 過各 個 函式值的 線性 組合。
凸分析的性 質 包括，空集和 單 點集是凸集；任意 兩個凸集的交集是凸集；凸集的 線性 變 換仍是凸集。凸 函式的一些性 質 包括，若f(x)是凸 函式， 則其下半 連 續集合也是凸 函式；若f1(x), f2(x), ..., fm(x)都是凸 函式， 則f(x)=max(i=1,m)fi(x)也是凸 函式；凸 函式在其定 義域 內具有弱二 階可微性 質，而且任意一 點的Hessian矩 陣都是半正定矩 陣。