部分分式法是一種數學中用於分解有理分式的技巧。它特別適用於將一個複雜的分式表示為幾個簡單的分式的和，從而簡化計算和進一步的分析。部分分式法的基本原理是將一個有理分式表示為如下形式：
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i(x)}{q_i(x)} \]
其中 \( p_i(x) \) 是多項式，\( q_i(x) \) 是不可約多項式，且 \( \deg(p_i(x)) < \deg(q_i(x)) \)。这意味着分子的次数总是小于或等于分母的次数。
部分分式法的主要步驟包括：
確定分母的因式：首先，需要找到分母多項式 \( g(x) \) 的所有不可約因式。這些因式可以是線性因子（一次多項式），也可能是更高次的不可約多項式。
展開部分分式：對於每個不可約因式，將其展開為一個或多個分式的和，其中每個分式的分子是一個次數低於分母的多項式。
確定分子：對於每個分式，通過比較原分式和部分分式的係數，確定分子的具體形式。
合併結果：最後，將所有部分分式相加，得到最終的結果。
部分分式法的一個重要套用是在計算有理函式的導數、反導數、積分、冪級數展開、傅立葉級數、留數等方面，因為它可以將複雜的有理函式轉換為幾個簡單的有理函式之和，從而簡化計算過程。
例如，考慮有理分式 \( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \)，可以通過部分分式法分解為 \( 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} \)，這樣每個分式的處理都相對簡單，便於進行後續的計算和分析。