分部積分法是微積分學中的一種基本計算積分的方法，它基於微分的乘法法則和微積分基本定理。這種方法的主要原理是將不易直接求解的積分形式轉化爲等價的、易於求解的積分形式。分部積分法的公式可以表述爲：
不定積分的分部積分公式：
\[ \int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx \]
定積分的分部積分公式：
\[ \int_a^b u(x) \cdot v'(x) \, dx = [u(x) \cdot v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) \cdot v(x) \, dx \]
在實際應用中，選擇哪個作爲積分的一部分（即選擇\(u\)和\(v\)）是一箇關鍵步驟。這通常遵循一箇基本的順序，即首先考慮反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數和三角函數的積分，這被稱爲“反對冪指三”的原則。這個原則有助於確定在積分中哪個函數應該作爲\(u\)，哪個作爲\(v'\)，以便簡化計算過程。
例如，對於積分\[ \int x \ln x \, dx \]，我們可以選擇\(u = x\)和\(v' = \ln x\)，這樣\(v = \int \ln x \, dx = x \ln x - x\)，然後應用分部積分公式進行計算。
分部積分法的應用廣泛，特別是在處理包含多種函數的複雜積分時，它提供了一箇有效的解決方案。通過合理地選擇\(u\)和\(v'\)，可以將一箇複雜的積分轉化爲兩個相對簡單的積分的差，從而簡化計算過程。