升降算符公式是量子力學中用於描述粒子狀態變化的重要工具。它們通常用於表示粒子能量的增加或減少，以及波函式的變換。升降算符的定義基於對易關係，如果存在算符 \( A^+ \) 和 \( A^- \)，使得 \([A, A^+] = m A^+\) 和 \([A, A^-] = -m A^-\) 成立，其中 \( m \) 是正實數，則 \( A^+ \) 是 \( A \) 的升算符，\( A^- \) 是 \( A \) 的降算符。這意味著升算符會增加 \( A \) 的本徵值，而降算符會減少 \( A \) 的本徵值。
以諧振子的哈密頓量 \( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \) 為例，升降算符可以定義為 \( a^\pm = \frac{1}{2m\omega\hbar} (m\omega x \mp ip) \)。這些算符滿足 \([H, a^\pm] = \pm \omega\hbar a^\pm\) 的對易關係，表明它們是關於哈密頓量的升降算符。特別地，對於哈密頓量的基態 \( | \psi_{\text{min}} \rangle \)，我們有 \( a^- | \psi_{\text{min}} \rangle = 0 \)，這是因為基態是哈密頓量的最小本徵值對應的本徵波函式，而套用降算符會使其本徵值減小，這與基態的定義矛盾。
綜上所述，升降算符在量子力學中扮演著關鍵角色，它們不僅用於描述能量的增減，還與粒子狀態的變換緊密相關。在諧振子的情況下，升降算符的具體形式和作用得到了清晰的展示。