同餘定理是數論中的重要概念，主要描述了兩個整數在模m的意義下相等的關係。具體來說，當兩個整數a和b滿足(a-b)能被m整除時，我們稱整數a與b對模m同餘，記作a≡b(modm)。這裡的m是一個大於1的正整數。這意味著，當a和b分別用m去除時，會得到相同的餘數。這種情況下，我們可以說a和b關於m同餘。
同餘定理的幾個關鍵點包括：
定義：如果存在一個正整數m，使得兩個整數a和b滿足(a-b)能被m整除，那麼我們就說a與b關於模m同餘。
性質：同餘關係具有反身性、對稱性和傳遞性。這意味著a≡a(modm)、若a≡b(modm)，則b≡a(modm)，以及若a≡b(modm)且b≡c(modm)，則a≡c(modm)。
運算規則：如果a≡b(modm)且c≡d(modm)，那麼a±c≡b±d(modm)以及a×c≡b×d(modm)。這些規則擴展到多個同餘式也成立。
特殊情況：若ac≡bc(modm)且c≠0，則gcd(c,m)=1時，a≡b(modm)。此外，還有冪運算規則，即如果a≡b(modm)，那麼an≡bn(modm)。
這些性質和規則是同餘定理的核心，它們在數論中的套用非常廣泛，特別是在解決模方程和證明數學問題方面。