向量是數學和物理學中非常重要的一種概念，用於描述空間中的方向和大小。向量之間可以通過加法、減法和數乘等運算來進行操作。
向量加法：
向量加法的交換律是：a + b = b + a。
向量的結合律是：(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法滿足所有的加法運算定律，如交換律、結合律。
向量減法：
如果a、b是互為相反的向量，那麼a = -b，b = -a，a + b = 0。
向量的減法滿足所有的減法運算定律，如交換律、結合律。
向量數乘：
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。
當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同；當λ < 0时，λa的方向和a的方向相反。
向量的數乘滿足所有的數乘運算定律。
向量垂直：
兩個向量垂直的充分必要條件是：a × b = 0，其中a、b是兩個向量，a × b是它們的向量積或外積。
對於任意維度的兩個向量L1,L2垂直的充分必要條件是：L1 × L2 = 0。
向量數量積：
向量的數量積是一個數量，記作ab。
如果a、b不共線，那麼ab = |a|b|cosa，其中a、b是兩個向量，a、b的長度分別為|a|、|b|，a與b的夾角為θ。
向量的數量積滿足所有的數量積運算定律。
以上是向量運算的一些基本概念和性質，它們在數學和物理學中有廣泛的套用。