歌德不完備定理實際上是指由奧地利裔美國著名數學家庫爾特·哥德爾在1931年提出的哥德爾不完備性定理。
哥德爾不完備性定理是數理邏輯和數學哲學領域的重要里程碑，具體包括兩個主要定理。具體內容如下：
第一定理指出，任何一個相容且包含簡單初等數論描述的形式系統，都必然存在一些既不能被該系統證明為真也不能被證明為假的命題。這意味著即使是最強大的數學或邏輯系統，也無法證明其自身所有可能的真命題。
第二定理進一步指出，任何相容的形式體系都無法證明其自身的相容性。這一結果打破了數學中基於希爾伯特計劃的幻想，即認為可以通過有限的公理體系來證明所有數學理論的相容性。
哥德爾不完備定理的提出，標誌著數學基礎研究的劃時代變化，對現代邏輯學和數學產生了深遠的影響。這些成果不僅在數學領域內產生了革命性的影響，也對哲學、邏輯學和計算機科學等領域產生了重要影響。哥德爾不完備性定理證明了在形式系統中存在一些超越了任何給定系統證明能力的有意義數學真理。