安徒生童話中流傳最廣的故事有：
1. 《賣火柴的小女孩》：講述了一個賣火柴的孤苦小女孩在富人合家歡樂、舉杯共慶的大年夜凍死街頭的故事，表達了作者對窮苦人民寄予的深切同情和對貧富懸殊社會現實的強烈不滿。
2. 《醜小鴨》：講述了一隻又大又醜的小鴨子如何成為一隻美麗的天鵝的動人故事。
3. 《海的女兒》：講述了小美人魚為了追求自己的愛情，不惜代價，最終化為泡沫，消失於大海的故事。
4. 《拇指姑娘》：講了拇指般大小的女孩和癩蛤蟆、鼴鼠、花王子之間的故事，表現出拇指姑娘的勇敢、堅強、善良和自信。
5. 《皇帝的新裝》：一個自以為是真話的謊言所編織成的童話世界，讓人們陷入其中。
總的來說，這些故事都表達了對善良、勇敢、堅強和信念的讚美與追求，同時揭示了人性的弱點和社會的現實。這些故事在全世界範圍內廣為流傳，深受孩子們的喜愛。