虛數在數學中指的是形如\(a + bi\)的數，其中\(a\)和\(b\)是實數，且\(b
eq 0\)，\(i^2 = -1\)。虛數的概念是由17世紀的數學家笛卡爾提出的，最初因爲當時的觀念認爲這類數字是不存在的。然而，後來發現虛數\(a + bi\)的實部\(a\)可以對應平面上的橫軸，虛部\(b\)可以對應平面上的縱軸，這樣虛數\(a + bi\)就可以與平面內的點\((a, b)\)對應。虛數的單位\(i\)在1777年由瑞士數學家歐拉首次使用。虛數與實數結合，通常寫作\(a + bi\)的形式，其中\(a\)和\(b\)爲實數。當\(a = 0\)時，該虛數稱爲純虛數；當\(a
eq 0\)且\(b
eq 0\)時，稱爲複數；當\(b = 0\)時，就是實數。在工程運算中，爲了避免與其他符號混淆，有時也使用\(j\)或\(k\)等字母來表示虛數的單位。複數集通常用符號\(\mathbb{C}\)表示，實數集用符號\(\mathbb{R}\)表示。
虛數也可以理解爲旋轉的概念。假設有一根數軸，上面有兩個反向的點：+1和-1。這根數軸的正向部分繞原點逆時針旋轉180度，相當於兩次逆時針旋轉90度，此時+1變成-1。因此，我們可以得到關係式：\((+1) \times (\text{逆時針旋轉}90^\circ) \times (\text{逆時針旋轉}90^\circ) = (-1)\)。如果去掉+1，就得到虛數的定義公式：\((\text{逆時針旋轉}90^\circ)^2 = (-1)\)。將"逆時針旋轉90度"記爲\(i\)，則\(i^2 = (-1)\)，這就是虛數的定義。