斐波那契數列的通項公式可以通過其遞推公式和特徵方程來證明。以下是詳細的證明過程：
遞推公式：斐波那契數列的遞推公式是 (a[n+2] = a[n+1] + a[n])。
特徵方程：為了找到斐波那契數列的通項公式，我們需要找到遞推公式對應的特徵方程。特徵方程是 (x^2 - x - 1 = 0)。這個方程的兩個根 (A) 和 (B) 分別是 (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) 和 (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})。
通項公式：斐波那契數列的通項公式可以表示為 (a[n] = pA^n + qB^n)，其中 (p) 和 (q) 是待定係數。通過使用初始條件 (a) 和 (a) 來確定 (p) 和 (q) 的值，我們可以得到斐波那契數列的通項公式。
證明過程：
首先，我們假設斐波那契數列的通項公式為 (a[n] = pA^n + qB^n)。
然後，我們使用初始條件 (a = 0) 和 (a = 1) 來解這個方程組，得到 (p) 和 (q) 的值。
最後，通過代入和簡化，我們可以驗證這個公式確實滿足斐波那契數列的遞推關係。
通過以上步驟，我們可以證明斐波那契數列的通項公式。這個過程涉及到解一元二次方程和線性代數的基本知識。