拉格朗日中值定理是一種重要的數學定理，其表述和意義如下：
定理表述：
如果函式 ( f(x) ) 在閉區間 ( [a, b] ) 上連續，並且在開區間 ( (a, b) ) 內可導，那麼存在至少一點 ( ξ ) 在區間 ( (a, b) ) 內（即 ( a < ξ < b ) ），使得：
[ f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a) ]
意義解釋：
該定理表明，對於連續且在開區間內可導的函式，在任意兩個端點之間的區間內，函式至少有一點其切線的斜率等於這兩點間的平均變化率。
這一性質是微積分中的一個基本結果，它連線了函式的局部行為（即某一點的導數）和整體行為（即區間兩端的函式值之差與區間長度之比）。
等價形式：
( f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} )
存在 ( 0 < θ < 1 )，使得 ( f(b) - f(a) = f'(a + θ(b - a)) \cdot (b - a) )
如果區間 ( [a, b] ) 變為 ( [a, a + h] )，則 ( f(b) - f(a) = f'(a + θh)h )，其中 ( h = b - a )。
證明思路：
證明拉格朗日中值定理通常需要構造一個輔助函式，並利用羅爾定理來證明。輔助函式的設計關鍵在於滿足羅爾定理的條件，即在一個區間端點的函式值為0，而在另一個端點的函式值不為0，從而確保在該區間內至少存在一點使得輔助函式的導數為0。
通過以上分析，我們可以看到拉格朗日中值定理不僅是微積分中的一個基本結果，它還為理解函式的局部和整體行為提供了重要的工具。