本原元素定理是數學中的一個重要概念，它主要關注於何時一個域擴張可以由單個元素生成。具體來說，如果E/F是一個域擴張，那麼E可以表示為F(α)的形式，即E可以由單個元素α生成。本原元素定理提供了判定單擴張的重要條件，即如果K是域F的代數擴域，並且α是F上可分的元素，那麼存在一個元素β，使得K=F(β)，其中β稱為本原元素。特別地，有限次可分擴域必為單擴域，這是本原元素定理的一個直接推論。
施泰尼茨（Steinitz）給出了一個更一般的定理，指出有限次擴張是單擴張的充分必要條件是其中間域的個數有限。這個定理進一步擴展了本原元素定理的套用範圍。
如果F是有限域，由於E/F是有限擴張，推得E也是有限域。由於有限域的乘法群是循環群，任取這個乘法群的一個生成元，E可以由這個生成元生成。所以在F是有限域的情況下，定理左右兩邊恆為真。如果F是無限域，但是只有有限箇中間域，那麼可以證明存在一個γ∈E，使得E=F(γ)。這個證明依賴於一個引理，即如果E=F(α,β)並且E和F之間只有有限箇中間域，那麼存在一個γ∈E，使得E=F(γ)。引理的證明涉及到中間域的概念和域論的基本原理。
綜上所述，本原元素定理不僅提供了一個判定單擴張的條件，還揭示了有限擴張和無限擴張之間的區別，特別是在有限域和無限域的情況下的不同處理方式。這些結果對於理解域論和伽羅瓦理論有著重要的意義。