杜姓的起源較為複雜，涉及多個來源和傳說，根據提供的信息，杜姓的起源主要包括以下幾個方面：
出自杜國。這是杜姓最主要的來源之一，杜國位於今天的陝西長安東北地區。周宣王時期，唐杜國的國君杜伯因被誤認為與女鳩有染而被殺，杜伯的子孫中留在杜城的人以國名為姓，從而形成了杜姓。
出自祁姓。帝堯的後代劉累，在夏朝時被封為御龍氏，其後代在周朝時被封為唐杜氏。周成王時，唐杜氏被遷至杜城，居住在該地的後代以「杜」為姓。
出自姬姓。有說法稱杜姓可能源自周文王的後代，但這一說法較為少見。
外姓改姓。例如，後魏時代北人獨孤渾氏有的改為杜姓。
此外，還有傳說稱杜姓可能源自黃帝時期的杜康，但這一說法缺乏確鑿的歷史證據。
總的來說，杜姓的起源和發展是一個複雜的過程，涉及多個民族和歷史時期。從古至今，杜姓在中國的分布和遷移經歷了多次變遷，形成了今天廣泛的分布格局。