氫原子的能級公式可以通過量子力學和波恩定理推導出來。具體步驟如下：
從古典力學出發，電子繞原子核做圓周運動的離心力等於電子和原子核之間的庫侖力，即 \(mv^2/r=Ze^2/r^2\)，其中 \(m\) 是電子的質量，\(e\) 是電子的電荷，\(Z\) 是原子序數，\(r\) 是電子運動的軌道半徑，整理這個等式可以得到 \(rmv^2=Ze^2\)。
電子的能量等於動能減去庫侖力所提供的電位能，即 \(E=(1/2)mv^2-Ze^2/r\)。
將第1步的式子代入第2步的式子，可以得到 \(E=-Ze^2/2r\)。
引入量子概念，將電子的軌道量子化，即 \(r=n(h/2pi)\)，其中 \(n\) 是量子數，\(h\) 是普朗克常數。
將第1步的式子平方後除以第4步的式子，可以得到 \(mr=(n^2)(h^2)/(4pi^2)(Ze^2)\)，進一步得到 \(r=(n^2)(h^2)/(4pi^2)(Ze^2)*m\)。
將第5步的式子代入第3步的式子，可以得到氫原子的能級公式，即 \(E=[-2(pi^2)*m*(Z^2)(e^4)]/[(n^2)(h^2)]\)。
此外，氫原子的能級公式還可以表示為 \(E_n=1/n^2E_1\)，其中 \(E_1\) 是基態能量。