泛函分析是現代數學的一個重要分支，它主要研究的是無限維向量空間上的泛函、運算元及極限理論。這一領域是在20世紀30年代形成的，其發展基礎包括變分法、微分方程、積分方程、函式論以及量子物理等多個學科的研究成果。泛函分析綜合運用了函式論、幾何學和現代數學的觀點，特別是在無限維空間中，它被視為無限維的分析學。
泛函分析的主要套用領域包括微分方程、機率論、函式論、連續介質力學、量子物理和計算數學等。它在處理具有無限個自由度的物理系統時尤為有用，如量子場理論等。
此外，泛函分析還形成了多個重要分支，如運算元譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間理論（也稱拓撲向量空間）和廣義函式論等。這些分支不僅推動了其他分析學科的發展，也使得泛函分析成為近代分析數學的基礎之一。