特徵多項式是線性代數中的一個重要概念，用於描述線性變換或線性方程組中矩陣的特徵值。求特徵多項式的方法主要涉及矩陣的行列式和特徵值。以下是求特徵多項式的步驟：
定義特徵多項式：對於矩陣 \(A\) 的特徵多項式 \(f(\lambda)\)，定義為 \(f(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，其中 \(I\) 是單位矩陣，\(\lambda\) 是特徵值。
計算行列式：通過計算 \(A - \lambda I\) 的行列式來找到特徵多項式。這通常涉及到將矩陣 \(A\) 的元素替換為 \(\lambda\) 對應的元素，然後使用行列式計算方法（如拉普拉斯展開）來找到行列式的值。
尋找特徵值：特徵多項式的根是矩陣 \(A\) 的特徵值，這些值對應於矩陣 \(A\) 的不變子空間或線性變換下的不變性質。
特徵多項式的性質：特徵多項式是 \(A\) 的所有特徵值的生成多項式，其係數與矩陣 \(A\) 的性質有關，如矩陣的秩和行列式值。
套用示例：考慮一個 \(2 \times 2\) 矩陣 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其特徵多項式為 \(f(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc\)。這個多項式的根是矩陣 \(A\) 的特徵值。
通過上述步驟，可以有效地求出矩陣的特徵多項式，進而分析矩陣的性質和特徵值。