矩陣特徵值分解（Eigendecomposition），也稱為譜分解（Spectral decomposition），是一種矩陣分解的方法，它將矩陣分解為一組特徵值與特徵向量的乘積。這種分解適用於可對角化的矩陣。在特徵值分解中，矩陣的每個特徵值都與一個特徵向量相關聯，這個特徵向量在矩陣的作用下只會發生伸縮變換，而其方向不變。
數學上，如果(A)是一個(n \times n)的方陣，且我們有(n)個線性無關的特徵向量(v_1, v_2, \ldots, v_n)，它們對應的特徵值分別為(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)，那麼(A)可以表示為：
[A = PDP^{-1}]
其中，(P)是一個矩陣，其列為(A)的特徵向量，(D)是一個對角矩陣，其對角線元素為(A)的特徵值。這種分解方式對於理解矩陣的結構和性質非常重要。
特徵值分解的一個關鍵套用是簡化矩陣的乘方計算。通過特徵值分解，我們可以將矩陣乘方的計算轉化為特徵值乘方的計算，這大大降低了計算的複雜性。
需要注意的是，並非所有矩陣都可以進行特徵值分解。它要求矩陣是可對角化的，即具有完整的特徵值和特徵向量集合。此外，對於實對稱矩陣，特徵值分解可以進一步簡化，因為它們有實數的特徵值和相互正交的特徵向量。
總結來說，矩陣特徵值分解是一種強大的工具，它不僅有助於理解矩陣的結構和性質，還能簡化矩陣運算，特別是在處理大型矩陣時。