自伴運算元（self-adjoint operator）是數學中一個重要的概念，主要套用於函式空間和內積空間。以下是關於自伴運算元的一些關鍵點：
定義：
在有限維內積空間中，自伴運算元是指等於自己的伴隨運算元的運算元。等價地說，表示自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣（Hermitian matrix），這類矩陣等於自己的共軛轉置。
對於函式空間，如果對於任意兩個函式 (u) 和 (v)，都有 ( (v, Lu) = (Lv, u) ) 成立，即 ( \int_a^b v^*(Lu)dx = \int_a^b (Lv)^*udx )，則稱 (L) 是自伴算符。
性質：
實數本徵值：自伴算符的本徵值為實數。這是因為 (Ly=λy \Rightarrow (Ly)^* = L^y^ )，由於 (L) 是自伴算符，所以 ( \int_a^b [y^Ly - (Ly)^y]dx = 0 )，從而得出本徵值 (λ) 為實數。
正交性：自伴算符的本徵函式具有正交性。如果 (λ_i) 和 (λ_j) 是不相等的兩個本徵值，對應的本徵函式 (y_i) 和 (y_j)，則 ( \int_a^b [y_i^Ly_j - (Ly_i)^y_j]dx = 0 )，因此 ( \int_a^b y_i^*y_jdx = 0 )。
譜定理：在有限維情況下，根據譜定理，存在一個正交歸一基，可以使得自伴運算元表達為一個實值的對角矩陣。這一性質是自伴運算元在有限維空間中一個非常重要的特點。
套用：自伴運算元在量子力學中有著廣泛的套用，其中動量算符就是一個例子。自伴運算元的本徵值和本徵函式在描述物理系統的穩定狀態時起著關鍵作用。
綜上所述，自伴運算元是數學和物理中的一個基本概念，其獨特的性質和廣泛的套用使其成為研究的重要對象。