離散傅立葉級數（Discrete Fourier Series, DFS）是一種數學工具，用於表示周期性離散信號的頻域特性。它與連續傅立葉級數相似，但適用於處理離散信號。
基本概念：
周期性：離散傅立葉級數描述的是周期性離散信號，其周期為N。這意味著信號在時域上是離散的，而在頻域上則是周期性的。
表示方式：任何周期序列都可以表示為諧波相關的復指數序列的加權和。這些復指數序列是基頻函式(e^{-j2\pi N k/n})的整數倍頻率，其中(N)是信號的周期，(k)是頻率分量的索引。
計算公式：
正向變換：離散傅立葉級數的正向變換公式為(X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j2\pi N k/n})，其中(X[k])是頻域中的係數，(x[n])是時域中的採樣值。
逆向變換：逆向變換公式為(x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{-j2\pi N k/n})，用於從頻域係數重建時域信號。
套用領域：
離散傅立葉級數在音頻信號處理、圖像處理、通信系統等領域有著廣泛的套用。它允許我們將信號從時域轉換到頻域，從而可以分析和提取信號在不同頻率上的能量分布情況。
總之，離散傅立葉級數是一種強大的工具，它能夠將離散信號表示為復指數函式的線性組合，並通過計算離散傅立葉變換來分析信號的頻譜特性。這種方法在處理和分析離散信號時非常有用。