高斯-波涅公式（Gauss–Bonnet formula），也稱為高斯-波涅定理（Gauss–Bonnet theorem），是微分幾何中的一個重要定理，它建立了曲面幾何與內角和之間的關係。該公式表述為：
高斯-波涅公式：對於任意緊緻、無邊界的二維黎曼面 (M)，其歐拉示性數 ( \chi(M) ) 與高斯曲率 (K) 之間的關係為：
[ \int_M K , dA = 2\pi \chi(M) ]
其中，( \chi(M) ) 是 (M) 的歐拉示性數，(K) 是 (M) 上某一點的高斯曲率，(dA) 是面積元素。
推廣：
陳省身（Chern）推廣了高斯-波涅公式，發現了陳-高斯-波涅定理（Chern–Gauss–Bonnet theorem）。
Atiyah 和 Singer 最終將陳-高斯-波涅定理進一步發展為了阿蒂亞-辛格指標定理（Atiyah–Singer index theorem）。
這些推廣和擴展進一步深化了我們對曲面幾何和拓撲的理解，特別是在高維流形上的套用。高斯-波涅公式不僅在數學中有重要地位，也在物理學中有著廣泛的套用，特別是在相對論和量子場論中。