LU分解是線性代數中一種重要的矩陣分解技術，它將一個方陣分解為一個下三角矩陣(L)和一個上三角矩陣(U)的乘積，有時還涉及到置換矩陣的使用。這種分解在數值分析中有廣泛套用，主要用於解線性方程組、計算行列式以及求矩陣的逆。
LU分解的原理基於高斯消元法，通過初等行變換將矩陣A轉變為上三角矩陣U，在變換過程中記錄下消元係數，形成下三角矩陣L，使得LU=A。這種分解在數學上等價於將A通過一系列初等行變換轉變為U，而L記錄了這些變換的信息。
在實際套用中，LU分解的效率非常高，特別是在解線性方程組時，可以通過前向和後向替換快速求解。但需要注意的是，LU分解並不適用於所有矩陣，如果A中含有零主元（即對角線上的元素為零），則分解會失敗。為了提高穩定性，通常會採用部分主元消去法（PLU分解）或完全主元消去法（PAQ分解），通過行列交換來避免零主元的問題。