牛頓法（Newton's method），也被稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法，由艾薩克·牛頓在17世紀提出。這種方法使用函式f(x)的泰勒級數的前幾項來尋找方程f(x) = 0的根。如果點x是函式f(x)的根，即f(x)=0，那麼在x*附近，f(x)的行為可以通過泰勒級數近似表示。忽略高階項後，可以得到一個線性方程，其解可以作為尋找原方程根的一個疊代步驟。
牛頓法的疊代公式可以表示為：x=x-f(x)/f'(x)，這裡的f'(x)是函式f(x)的導數。這種方法不僅適用於求解方程的根，還可以用於最佳化問題，即尋找函式極值點。在最佳化問題中，牛頓法通過疊代方式更新解，直到達到指定的精度或最大疊代次數。
牛頓法的優點是收斂速度快，能夠快速接近極值點或方程的根。然而，它也有一些缺點，如可能需要計算目標函式的二階導數（Hessian矩陣），這可能導致計算量大。此外，在某些情況下，Hessian矩陣可能不是正定的，從而無法進行逆運算。為了解決這個問題，提出了擬牛頓法（Quasi-Newton Methods），它通過構造近似Hessian矩陣或其逆矩陣來避免直接計算Hessian矩陣。
總的來說，牛頓法是一種高效求解方程根或函式極值點的疊代算法，適用於多種領域，包括科學計算和機器學習。