zipf分布

Zipf分布是一種離散機率分布，常用於描述在許多不同領域中出現的冪律現象。其機率質量函式（PMF）定義為 ( Zipf(k; \alpha, n) = \frac{1}{k^\alpha \sum_i^n (\frac{1}{i})^\alpha} )，其中 ( k ) 是離散變數的值，( \alpha ) 和 ( n ) 是分布的參數。當 ( n ) 趨向於無窮大時，Zipf分布可以簡化為Zeta分布。

Zipf分布的特點是，隨著等級序號 ( r ) 的增加，頻率 ( f ) 遞減，且遞減的速度與 ( \alpha ) 有關。當 ( \alpha ) 較大時，頻率遞減的速度較慢，形成長尾分布；當 ( \alpha ) 較小時，頻率遞減的速度較快，形成尖峰分布。這種分布在許多實際場景中都有套用，例如網站點擊量、城市人口分布等。

Zipf分布的套用場景包括但不限於：

網站點擊量：少數網站獲得大量點擊，而大多數網站獲得適度的點擊量，少量網站幾乎沒有任何點擊量。

城市人口分布：一些城市人口眾多，而大多數城市人口較少。

Zipf分布與均勻分布的關係：當 ( \alpha = 0 ) 時，Zipf分布變為離散均勻分布。

在科學計算和數據分析中，Zipf分布在描述不同領域的數據時非常有用。例如，在文本分析中，Zipf定律可以用來描述詞頻分布；在城市研究中，它可以用來描述城市人口規模分布。