信息熵是一個重要的概念，用於衡量信息的不確定性或信息的量度。它是由克勞德·香農在1948年提出的，主要用於資訊理論中。信息熵的數學定義如下：
信息熵的定義：
對於隨機變數 \( X \)，其信息熵 \( H(X) \) 定義為：
\[ H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log p(x_i) \]
其中 \( p(x_i) \) 是隨機變數 \( X \) 取值為 \( x_i \) 的機率。
對數的底通常取2，此時熵的單位是比特(bit)。如果對數的底取自然對數 \( e \)，則熵的單位是納特(nat)。
信息熵的性質：
熵永遠是非負的，即 \( H(X) \geq 0 \)。當隨機變數的取值是確定的（只有一個事件發生機率為1，其餘都是0），熵為0。
對於給定數量的類別，當所有類別發生的機率都相等時（即分布是均勻分布），熵達到最大值。
熵是機率分布的函式，與隨機變數的具體取值無關。
信息熵的套用：
在深度學習和機器學習中，信息熵用於評估模型對數據的擬合程度、特徵選擇、正則化等。
信息熵的概念已經涉及工業、農業、交通運輸、土地利用、礦藏預測、環境保護、氣象預測、工商管理、金融市場、醫療衛生等各個行業，成了溝通自然科學與社會科學的橋樑。
通過上述定義和性質，我們可以看到信息熵不僅是一個理論上的概念，它在實際套用中也有著廣泛的作用和價值。