偏微分公式是數學中用於計算函式對單個變數的導數的概念。給定一個函式 \( f(x,y) \)，偏微分公式可以表示為：
對 \( x \) 的偏導數：\( \frac{\partial f}{\partial x} \)
對 \( y \) 的偏導數：\( \frac{\partial f}{\partial y} \)
這些公式表示在保持一個變數不變的情況下，函式對另一個變數的變化率。例如，\( \frac{\partial f}{\partial x} \) 表示當 \( y \) 保持不變時，\( f \) 關於 \( x \) 的變化率。
在更高級的微積分中，還會涉及到二階偏導數和混合偏導數，例如：
二階偏導數：\( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)，\( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \)
混合偏導數：\( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \)
這些偏導數在數學和物理中有廣泛的套用，特別是在處理多變數函式時。值得注意的是，如果函式 \( f(x,y) \) 具有連續的偏導數，那麼混合偏導數 \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \) 是相等的，這是一個重要的數學性質。
在實際套用中，偏微分方程（PDEs）用於描述許多自然現象和工程問題，如熱傳導、波動、電磁場等。偏微分方程的求解通常比較複雜，需要專門的數學技巧和方法。