傅立葉變換是一種數學工具，它可以將一個複雜信號表示為簡單正弦波的疊加。這種變換在信號處理、圖像分析、物理學和工程學等多個領域有著廣泛的套用。傅立葉變換可以分為連續傅立葉變換和離散傅立葉變換兩種形式，以適應不同的需求。
傅立葉變換的基本思想是將一個時間域上的信號分解成不同頻率的正弦波，這些正弦波的幅度和相位信息包含了原信號的所有特徵。通過傅立葉變換，我們可以分析信號的頻率特性，或者在不同頻率上對信號進行濾波和處理。
例如，當我們聽到聲音時，我們實際上是在感知聲音中不同頻率的正弦波。傅立葉分析可以幫助我們理解聲音的高低，即聲音包含哪些頻率的成分。同樣，傅立葉變換也可以用於圖像處理，將圖像的灰度或顏色變化表示為不同頻率的正弦波的組合。
傅立葉變換的逆過程，即傅立葉反演公式，允許我們從頻域中的信息重建原始的時域信號。這意味著，如果我們知道一個信號的所有頻率和相位信息，我們就可以精確地重建原始信號。
傅立葉分析的形成可以追溯到18世紀，它是一個重要的數學分支，也被稱為調和分析。隨著近兩個世紀的發展，傅立葉分析的研究領域已經從直線群、圓周群擴展到更一般的抽象群，包括群上的傅立葉分析。