卡方分布的期望和方差可以總結如下：
期望：\(E(X) = n\)
方差：\(D(X) = 2n\)
這裡的 \(n\) 是卡方分布的自由度參數。這些結果適用於卡方分布的一般情況，其中隨機變數 \(X\) 服從卡方分布，記作 \(X \sim \chi^2(n)\)。
證明概要：
期望：\(E(X) = E(\sum_{i=1}^n X_i^2) = \sum_{i=1}^n E(X_i^2) = \sum_{i=1}^n (D(X_i) + E^2(X_i)) = \sum_{i=1}^n (0 + 1) = n\)。
方差：\(D(X) = D(\sum_{i=1}^n X_i^2) = \sum_{i=1}^n D(X_i^2) = \sum_{i=1}^n [E(X_i^4) - E^2(X_i^2)] = \sum_{i=1}^n [E(\frac{x^4}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}) - 1] = \sum_{i=1}^n (3 - 1) = 2n\)。
這些結果提供了對卡方分布基本特性的理解，有助於進一步分析涉及卡方分布的統計問題。