古德斯坦定理是由 魯 賓·古德斯坦提出的一 條 關於自然 數的命 題，其核心 內容是所有古德斯坦序列最 終均 結束 於0。 這 個定理的 證明 過程相 當 複雜，涉及到集合 論和序 數理 論。古德斯坦本人使用集合 論方法 證明了 該定理，而科比和帕里斯在1982年 證明了 該命 題在皮 亞 諾公理系 統 內是不可 證的。 這一 結果使得古德斯坦定理成 為了 一個在皮 亞 諾算 術中的 「不可判定 問 題 」。
古德斯坦序列的定 義 基於 「 繼承n 進制表示 」的概念， 這 種表示方式 類 似於 傳 統的n 進制表示，但 為了 證明古德斯坦定理，需要 這 種更 複雜的表示方法。古德斯坦序列是通 過不 斷 對自然 數 進行 繼承n 進制 轉 換 並逐步 減少得到的序列。
古德斯坦定理的 證明思路是通 過 構造 一個由序 數 組成的平行序列， 這 個平行序列的下界就是古德斯坦序列。如果 這 個平行序列中的 項能 夠降到0，那 麼古德斯坦序列的 項最 終也必定降到0。 這 個平行序列的 構造方法是 將古德斯坦序列中的每一 項替 換 為第 一個 無限序 數ω，然 後利用序 數的加法、乘法和乘 冪的 標準定 義 進行操作。 由於所有序 數在其自然序下 構成 一個良序集，不存在 無 窮的 單 調下降的序 數序列，因此 這 個平行序列一定 會 終 止於0，此 時古德斯坦序列也 為0。
古德斯坦定理是哥德 爾不完 備定理的 一個 實例，它展示了在任何能 夠表示自然 數的形式化系 統 內， 總存在一些 陳述是 無法在 該系 統 內被 證明的。 這一 結果 強 調了形式化系 統的局限性和 數 學 邏 輯的 複雜性。