施瓦茨不等式（Schwarz inequality）是一 種在 數 學和物理 學中 廣泛 套用的工具，特 別是在 處理 內 積空 間和矩 陣 運算 時。 該不等式最初由法 國 數 學家柯西（Augustin Louis Cauchy）在1821年提出，其 積分形式在1859年被 布尼 亞克夫斯基提出，而 積分形式的 現代 證明 則由施瓦 茲 於1888年 給出。施瓦茨不等式有 時也被 稱 為柯西-施瓦茨不等式或 布尼 亞科夫斯基不等式。
施瓦茨不等式的 標準形式如下：
對於任意 兩個向量x和y，在 實 數域或 複數域上的 內 積空 間中，有：
|x, y|² ≤ ||x||² * ||y||²
其中，||x||和||y||分 別表示向量x和y的模 長。等 號成立 若且唯若x和y是 線性相 關 時。
施瓦茨不等式在多 個 領域有 著 廣泛的 套用， 包括但不限 於：
線性代 數：在 處理向量和矩 陣 運算 時，施瓦茨不等式 幫助 確定向量的 長度和角度 關係。
數 學分析：在研究 無 窮 級 數和乘 積的 積分 時， 該不等式提供了重要的不等式 關係。
機率 論：在 計算方差和 協方差 時，施瓦茨不等式 幫助理解 隨 機 變數之 間的 關係。
物理 學：在量子力 學和波 動方程等 領域， 該不等式 用於描述物理量的可 觀 測性和它 們之 間的 關係。
此外，施瓦茨不等式在解 決不等式 證明的 問 題中也有 著十分 廣泛的 套用， 對高等 數 學的提升和研究有 著非常重要的地位。