柯西不等式公式有多種形式，以下是一些主要形式：
二維形式的柯西不等式：
代數形式：對於實數 (a, b, c, d)，有 ((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2)。
等號成立條件：若且唯若 (ad = bc) 時，等號成立。
柯西不等式的向量形式：
對於向量 (\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)) 和 (\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n))，有 (|\alpha||\beta| \geq |\alpha \cdot \beta|)。
等號成立條件：若且唯若兩個向量共線時，即存在實數 (k) 使得 (\alpha = k\beta) 或其中一個向量是零向量時，等號成立。
一般形式的柯西不等式：
對於任意實數序列 ({a_i}) 和 ({b_i})，有 (\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2)。
等號成立條件：若且唯若對於所有 (i)，存在實數 (k_i) 使得 (a_i = k_i b_i) 時，等號成立。
以上形式展示了柯西不等式在不同情境下的套用，從簡單的二維情況到更一般的情況，都體現了柯西不等式的基本思想。