柯西分布，也被稱為柯西-洛倫茲分布，是一種以數學家奧古斯丁·路易·柯西和物理學家亨德里克·洛倫茲的名字命名的連續機率分布。其機率密度函式可以表示為：
機率密度函式：
[ f(X; X_0, \gamma) = \frac{1}{\pi \gamma} \left[ 1 + \left( \frac{X - X_0}{\gamma} \right)^2 \right]^{-1} ]
其中 ( X_0 ) 是定義分布峰值位置的位置參數，( \gamma ) 是最大值一半處的一半寬度的尺度參數。
特性：
柯西分布的數學期望、方差以及高階矩均不存在。
柯西分布的眾數和中值有定義，都等於 ( X_0 )。
如果 ( U ) 和 ( V ) 是期望值為 0、方差為 1 的兩個獨立常態分配隨機變數，那麼比值 ( U/V ) 服從柯西分布。
如果 ( X_1, \ldots, X_n ) 是分別符合柯西分布的相互獨立同分布隨機變數，那麼它們的算術平均數 ( (X_1 + \ldots + X_n)/n ) 也服從柯西分布。
物理和光譜學中的套用：
在物理學中，柯西分布的重要性很大程度上歸因於它是描述受迫共振的微分方程的解。
在光譜學中，柯西分布描述了被共振或其他機制加寬的譜線形狀。
標準柯西分布：
當 ( X_0 = 0 ) 且 ( \gamma = 1 ) 時，柯西分布稱為標準柯西分布，其機率密度函式為：
[ f(X; 0, 1) = \frac{1}{\pi[1 + X^2]} ]
其累積分布函式為：
[ F(X; X_0, \gamma) = \frac{1}{\pi} \arctan\left( \frac{X - X_0}{\gamma} \right) + \frac{1}{2} ]
以上信息綜合了搜尋結果的內容。