柯西定理在數學中有著不同的套用，主要包括柯西積分定理和柯西中值定理，具體如下：
柯西積分定理。這是複變函數論中的一個重要定理，它表明如果在一個複平面上的單連通區域內，有一個全純函式，那麼這個函式沿著任何可求長閉合曲線的積分值為零。這意味著函式的路徑積分與路徑無關，只要這些路徑完全位於該單連通區域內。這個定理是複分析的基礎，對於理解複函數的可視化、泰勒級數展開以及洛朗級數展開非常重要。
柯西中值定理。這是微分學中的一個基本定理，它表明在兩個端點之間的給定平面弧上，至少有一點，使得曲線在該點的切線平行於兩端點所在的弦。它是拉格朗日中值定理的推廣，後者是它的一個特例。柯西中值定理在微分學中的套用包括但不限於證明某些微分方程的解的存在性，以及在數學分析的其他領域中提供關於函式行為的深入理解。