牛頓插值原理是一種數學方法，用於通過已知的函式值來估計函式在其它點的值。它基於以下核心概念：
插值多項式：牛頓插值法通過構造一個多項式，使得該多項式在給定的點上取已知的函式值。這個多項式被稱為插值多項式。
差商：牛頓插值法的關鍵在於使用差商的概念。差商是插值節點處函式值差分的商，它們幫助確定插值多項式的係數。
節點增減的便利性：與拉格朗日插值法相比，牛頓插值法的一個顯著優點是，當增加或減少插值節點時，不需要重新計算所有的插值基函式。這大大簡化了計算過程。
計算公式：牛頓插值公式可以表示為：( f(x) \approx f(x_0) + fx_0, x_1 + fx_0, x_1, x_2(x - x_1) + \ldots + fx_0, x_1, \ldots, x_n(x - x_1) \ldots (x - x_n) )，其中( f[x_0, x_1, \ldots, x_n] )表示在點( x_0, x_1, \ldots, x_n )處的n階差商。
優點與局限性：
優點：計算節點增減時較為方便，不需要重新計算所有基函式。
局限性：當插值節點較多時，計算差商可能會導致數值穩定性問題。
綜上所述，牛頓插值法是一種有效的數學工具，適用於在已知函式在某幾個點的值的情況下，估計函式在這些點之間的值。它通過使用差商來確定插值多項式的係數，並且在節點增減時保持計算的便利性。