算術平均數大於或等於幾何平均數的證明可以通過數學歸納法和一些基本的數學不等式來完成。以下是證明的步驟：
基本情況：當n=1時，不等式顯然成立，因爲對於單個數a1，算術平均數和幾何平均數都是a1本身。
歸納假設：假設對於n個數a1,a2,...,an，算術平均數不小於幾何平均數，即a1+a2+...+ann≥(a1a2...an)1n。
歸納步驟：考慮n+1個數a1,a2,...,an,an+1，我們需要證明a1+a2+...+an+an+1n+1≥(a1a2...anan+1)1n+1。這可以通過以下步驟完成：
首先，將n+1個數的和除以n+1得到算術平均數，記爲M。
然後，考慮將M用作每個數的替代值，構造一箇新的數列，其中每個數都是M，共有n+1個這樣的數。
這個新數列的算術平均數是M，而幾何平均數是Mn+1。
根據歸納假設，原數列的算術平均數不小於幾何平均數，即a1+a2+...+an+an+1n+1≥Mn+1。
由於新數列的算術平均數是M，且M是由原數列的算術平均數得到的，因此新數列的算術平均數不小於其幾何平均數，即Mn+1≥Mn+1。
最後，我們得到原數列的算術平均數不小於其幾何平均數的結論，即a1+a2+...+an+an+1n+1≥(a1a2...anan+1)1n+1。
這個證明過程通過數學歸納法展示了對於任意正整數n，一箇由n+1個數構成的數列的算術平均數不小於其幾何平均數。因此，我們證明了對於所有正整數n，算術平均數總是大於或等於幾何平均數。