對於具有重根的特徵向量，可以通過以下步驟來求解：
首先，假設矩陣 \( A \) 有一箇 \( q \) 重根 \( \lambda_1 \)。
設 \( P_1, P_2, \ldots, P_q \) 是矩陣 \( A \) 對應於 \( \lambda_1 \) 的特徵向量。
利用特徵向量的定義，我們可以寫出以下方程組：
\( \lambda_1 P_1 = A P_1 \)
\( \lambda_1 P_2 + P_1 = A P_2 \)
\( \vdots \)
\( \lambda_1 P_q + P_{q-1} = A P_q \)
這個方程組表明，除了第一個特徵向量 \( P_1 \) 之外，其他特徵向量 \( P_2, P_3, \ldots, P_q \) 可以通過解這個方程組來找到。
可以通過計算 \( (A - \lambda_1 I) (A - \lambda_1 I) P_2 = 0 \) 來找到第二個特徵向量 \( P_2 \)，其中 \( I \) 是單位矩陣。
類似地，可以計算 \( (A - \lambda_1 I) (A - \lambda_1 I) (A - \lambda_1 I) P_3 = 0 \) 來找到第三個特徵向量 \( P_3 \)，以此類推。
這個過程是基於矩陣 \( A \) 和它的重根 \( \lambda_1 \) 的特徵向量的性質。如果矩陣 \( A \) 的特徵值沒有重根，那麼每個特徵值通常對應一箇唯一的特徵向量。但是，當特徵值有重根時，除了主特徵向量之外，還可能存在其他線性獨立的特徵向量，這些向量可以通過解上述方程組來找到。