二階矩陣的特徵值可以通過其特徵多項式來求解。特徵多項式是一個關於λ的二次多項式，其係數由矩陣的元素決定。對於二階矩陣 \( A = \begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix} \)，其特徵多項式 \( f(\lambda) \) 定義為 \( \lambda^2 - (a+d)\lambda + ad - bc \)。
特徵值 \( \lambda \) 是滿足 \( f(\lambda) = 0 \) 的實數或複數。計算特徵值的一種常用方法是使用行列式公式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是單位矩陣。這個公式通過展開行列式並令其等於零來求解特徵值。
如果二階矩陣是實對稱的，那麼它的特徵值也是實數。實對稱矩陣 \( H = \begin{bmatrix} a &b \\ b &c \end{bmatrix} \) 的特徵值可以通過解二次方程 \( (a-λ)(c-λ) - b^2 = 0 \) 來找到，這個方程的根就是特徵值。
一旦找到了特徵值 \( \lambda \)，就可以通過將 \( \lambda \) 代入矩陣 \( A \) 的二元一次方程組來找到對應的特徵向量。如果 \( \lambda \) 是二階矩陣 \( A \) 的特徵值，那麼存在一個非零向量 \( \alpha \)，使得 \( A\alpha = \lambda\alpha \)。這個向量 \( \alpha \) 就是屬於特徵值 \( \lambda \) 的一個特徵向量。