零值定理，也被稱為零點定理，是數學中的一個重要概念，它是介值定理的一個特例。具體內容如下：
定義：如果函式( f(x) )在閉區間([a, b])上連續，並且( f(a) )與( f(b) )異號（即( f(a) \times f(b) < 0 )），那么在开区间((a, b))内至少存在一点( ξ )（其中( a < ξ < b )），使得( f(ξ) = 0 )。这意味着函数( f(x) )在区间([a, b])内至少有一个零点。
幾何意義：如果函式( f(x) )在閉區間([a, b])上的圖像是連續的，並且( f(a) )與( f(b) )異號，那麼該函式與( x )軸在區間([a, b])內至少相交於一點。
證明過程：證明零值定理的過程可以通過考慮函式在區間(a, b]\)上的值的變化來實現。如果\( f(a) \)和\( f(b) \)異號，那麼根據連續函式的局部保號性，可以證明在開區間\((a, b)\)內至少存在一點\( ξ \)，使得\( f(ξ) = 0 \)。此外，還可以利用[閉區間套定理來證明這一點。
套用：零值定理在數學和其他領域中有廣泛的套用，特別是在解決二次方程的根的分布問題時。
通過以上分析，我們可以看到零值定理不僅是數學分析中的一個基本概念，也是理解函式零點存在性的重要工具。