戴德金分割定理是實數理論中的一個基本概念，它為實數的連續性和完備性提供了嚴格的數學基礎。該定理表述為：對於每個實數域內的戴德金分割（即有理數集的一個分割，其中一個元素屬於集合A，另一個元素屬於集合A'），都存在一個唯一的實數β，這個實數β要麼屬於集合A，要麼屬於集合A'。如果β屬於A，則它是A中的最大元素；如果β屬於A'，則它是A'中的最小元素。
這個定理的關鍵在於理解戴德金分割的概念。戴德金分割將有理數集分為兩個非空子集A和A'，其中A中的每個元素都小於A'中的每個元素。這種分割確保了實數域中的每個元素（無論是有理數還是無理數）都被恰當地分配到A或A'中。根據戴德金分割定理，這樣的分割總是由一個唯一的實數β確定，這個實數β是分割的界點。
戴德金分割定理的證明基於有理數集的稠密性和有序性。由於有理數是稠密的，即任意兩個有理數之間都有無數個其他有理數，因此如果一個分割的A中存在最大元素，那麼這個最大元素加上A中任意其他元素之間的任何一個有理數也將屬於A。同樣，如果A'中存在最小元素，那麼從那個最小元素減去A'中任意其他元素之間的任何一個有理數也將屬於A'。這表明，除了有理數外，還存在無法用有理數表示的數，即無理數。
總的來說，戴德金分割定理不僅揭示了實數的存在性和唯一性，還深刻地揭示了實數系統的連續性和完備性。