Gronwall引理，也稱為Gronwall不等式，是常微分方程和偏微分方程數值分析中的一個重要工具。它用於估計解的上界，特別是在處理常微分方程和偏微分方程的數值解時。
積分形式的Gronwall不等式：
設 ( f \in L^1(t_0, T) ) 是一個非負函式，( g ) 和 ( \phi ) 是 ( [t_0, T] ) 上的連續函式。
如果 ( \phi ) 滿足 ( \phi(t) \leq g(t) + \int_{t_0}^t f(\tau) \phi(\tau) d\tau ) 對所有 ( t \in [t_0, T] )，則
( \phi(t) \leq g(t) + \int_{t_0}^t f(s) g(s) \exp(\int_s^t f(\tau) d\tau) ds ) 對所有 ( t \in [t_0, T] )。
如果 ( g ) 不遞減，那麼 ( \phi(t) \leq g(t) \exp(\int_{t_0}^t f(\tau) d\tau) ) 對所有 ( t \in [t_0, T] )。
證明概要：
定義 ( R(t) := \int_{t_0}^t f(\tau) \phi(\tau) d\tau )。
求 ( R(t) ) 的導數，得到 ( R'(t) = f(t) \phi(t) )。
利用不等式關係，得到 ( R(t) \exp(-\int_{t_0}^t f(\tau) d\tau) \leq \int_{t_0}^t f(s) g(s) \exp(-\int_{t_0}^s f(\tau) d\tau) ds )。
如果 ( g ) 不遞減，通過進一步計算可以證明 ( \phi(t) \leq g(t) \exp(\int_{t_0}^t f(\tau) d\tau) )。
套用：
Gronwall引理在處理常微分方程和偏微分方程的數值解時非常有用，特別是在估計誤差項時。
它確保了數值解的穩定性，即在一定條件下，數值解的誤差不會隨時間積累而爆炸。
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